在等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项an; (2)令bn=2 an-10,证明:数列{bn}为等比数列; (3)求数列{nbn}的前n项和Tn.
题目
在等差数列{an}中,a10=30,a20=50.
(1)求数列{an}的通项an;
(2)令bn=2 an-10,证明:数列{bn}为等比数列;
(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.
答案
(1)设数列{a
n}首项为a
1,公差为d,
依题意知
,解得a
1=12,d=2,
∴a
n=12+(n-1)×2=2n+10.
(2)证明:∵a
n=2n+10,
∴b
n=2
an-10=2
2n=4
n,
∴
=
=4,
∴数列{b
n}是以首项b
1=4,公比为4的等比数列.
(3)∵nb
n=n•4
n,
∴T
n=1•4+2•4
2+…+n•4
n,①
4T
n=1•4
2+2•4
3+…+n•4
n+1,②
①-②,得-3T
n=4+4
2+…+4
n-n•4
n+1=
-n•4
n+1=
-+(-n)•4n+1,
∴T
n=
+(-)•4n+1.
(1)等差数列{an}中,由a10=30,a20=50.解得a1=12,d=2,由此能求出数列{an}的通项an.
(2)由an=2n+10,知bn=2 an-10=22n=4n,由此能够证明数列{bn}是等比数列.
(3)由nbn=n•4n,知Tn=1•4+2•42+…+n•4n,由此利用错位相减法能求出数列{nbn}的前n项和Tn.
数列的求和;等比关系的确定;等差数列的性质.
本题考查数列的通项公式的求法,考查等比数列的证明,考查数列的前n项和的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意错位相减法的合理运用.
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