已知函数f(x)=ax3-4x+4(a∈R)在x=2取得极值. (Ⅰ)确定a的值并求函数的单调区间; (Ⅱ)若关于x的方程f(x)=b至多有两个零点,求实数b的取值范围.
题目
已知函数f(x)=ax3-4x+4(a∈R)在x=2取得极值.
(Ⅰ)确定a的值并求函数的单调区间;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=b至多有两个零点,求实数b的取值范围.
答案
(Ⅰ)因为f(x)=ax
3-4x+4(a∈R),所以f′(x)=3ax
2-4
因为函数f(x)在x=2时有极值,所以f′(2)=0,即3×4a-4=0
得
a=,经检验符合题意,所以
f(x)=x3−4x+4所以f′(x)=x
2-4=(x+2)(x-2)
令,f′(x)=0得,x=2,或x=-2,当x变化时f′(x),f(x)变化如下表:
x | (-∞,-2) | -2 | (-2,2) | 2 | (2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 单调递增↗ | 极大值 | 单调递减↘ | 极小值 | 单调递增↗ |
所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2),(2,+∞);f(x)的单调减区间为(-2,2).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x=-2时,f(x)有极大值,并且极大值为
f(−2)=;
当x=2时,f(x)有极小值,并且极小值为
f(2)=−;
要使关于x的方程f(x)=b至多有两个零点,则b的取值范围为
(−∞,−]∪[,+∞)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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