设a和n是正整数,a^2是2^2n-1的倍数,求证:a^2是2^2n的倍数.

题目

设a和n是正整数,a^2是2^2n-1的倍数,求证:a^2是2^2n的倍数.

答案

证明：∵a^2是2^2n-1的倍数
∴设a=2^m (m>0的整数）
且a²=(2^m)²=2^(2m)是2^(2n-1)的倍数
∴2m≥2n-1
∴m≥n-1/2
∴m>n
∴设m=n+k(k≥0的整数）
∴a²=(2^m)²=2^(2m)=2^(2n+2k)=2^(2n)×2^(2k)
∵k≥0的整数
∴2^（2k)是整数
∴a²是2^(2n）的倍数