已知sinα+sinβ=根号3(cosβ-cosα),α,β∈(0,π/2),求证：sin3α+sin3β=0

题目

已知sinα+sinβ=根号3(cosβ-cosα),α,β∈(0,π/2),求证：sin3α+sin3β=0

答案

sina＋sinB=√3(cosB-cosa)
sina＋√3cosa=√3cosB-sinB
2(1/2sina＋√3/2cosa)=2(√3/2cosB-1/2cosB)
2sin(a＋60)=2sin(60-B)
sin(a＋60)=sin(60-B)
因为a,b属于(0,90),所以a＋60=180-(60-B),所以a-B=60度,所以3a属于第四象限角,3B属于第一象限或第二象限角,所以sin3a＋sin3B=0.