已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于不同的两点A、B，点A在点B的左边，与y轴交于点C．若△AOC与△BOC的面积之和为6，且这个二次函数图象的顶点坐标为（2，-a），求这个二次函数的解析

题目

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于不同的两点A、B，点A在点B的左边，与y轴交于点C．若△AOC与△BOC的面积之和为6，且这个二次函数图象的顶点坐标为（2，-a），求这个二次函数的解析式．

答案

∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与y轴交于点C，
∴C（0，c）．
∵个二次函数图象的顶点坐标为（2，-a），
∴设A（m，0），B（4-m，0）．
由于点A在点B的左边，有m＜4-m，即有m＜2．
∵△AOC与△BOC的面积之和为6，
∴

mc

2

+

(4−m)c

2

=6，
解得c=3．
则该抛物线方程为：y=ax²+bx+3．
∴

− b 2a ＝2 4a×3−b2 4a ＝−a

，
解得

a＝ 3 5 b＝− 12 5

．
故该函数的解析式为：y=

3

5

x²-

12

5

x+3．

根据抛物线的顶点坐标知对称轴为x=2，则设A（m，0），B（4-m，0），C（0，c）．根据三角形的面积求法得到c=3．然后由抛物线的顶点坐标公式来求系数的值．

本题考点：抛物线与x轴的交点．

考点点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，需要熟记抛物线顶点坐标公式．