半径为1的球面上有三点ABC,若A和B、A和C的球面距离为π/2,B和C的球面距离为π/3,则球心到截面ABC的距离

题目

半径为1的球面上有三点ABC,若A和B、A和C的球面距离为π/2,B和C的球面距离为π/3,则球心到截面ABC的距离

答案

令O为圆心
由题可得三角锥0-ABC,∠BOC=π/3,∠BOA=∠AOC=π/2,OA=OB=OC=BC=1,
AB=BC=√2,RT△OAB斜边上的高为OD,OD=√2/2
设O到截面ABC的距离为x,(OD^2-x^2)∶(OA^2-x^2)=1/2∶√2
则（（√2/2)^2-x^2)∶（1^2-x^2)=(1/2)^2∶(√2)^2
解得,x^2=3/7
x=√21/7