数学题目（分类：综合除法和余数定理）

题目

数学题目（分类：综合除法和余数定理）
一个整系数三次多项式f（x）,有三个不同的整数m,n,k,使
f（m）=f（n）=f（k）=1.
又设p为不同于m,n,k的任意整数,试证明：f（p）≠1.

答案

先进行个初步讨论：
f（x） 为 一个整系数三次多项式,则 f（x）= 1 为一个关于 x 的 一元三次方程.这里我们根据常识就知道 一元三次方程最多有几个解呢,三个,姑且认为就是条件中所说的 m ,n ,k .这样,我们就得到了解题的思路,用导数来解,证明这个一元三次方程不可能存在第四个解,即 不存在 f（p）= 1 .
证明：设 f(x)= a x^3 + b x^2 + c x + d (a ≠ 0）.
令 F(x)=f(x)-1
对 F(x)求导,得 F'(x) =3a x^2 + 2b x + c (a ≠ 0）,
这F'(x)是个一元二次多项式,令F'(x)=0,有且最多有2个解（其实在题设条件下已经有3个整数使f（x）= 1 成立了,这里就是F'(x)有2个解.）,设为 k1,k2（k10时,F'(x)>0,F（x）单调递增②a