已知椭圆焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该圆相交于P、Q,且OP⊥OQ,|PQ|=（√10）/2,求椭圆的标准方程

题目

已知椭圆焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该圆相交于P、Q,且OP⊥OQ,|PQ|=（√10）/2,求椭圆的标准方程

答案

设椭圆方程为 mx^2+ny^2=1 ,
代入可得 mx^2+n(x+1)^2=1 ,
化简得 (m+n)x^2+2nx+n-1=0 ,
设 P（x1,y1）,Q（x2,y2）,
则 x1+x2= -2n/(m+n) ,x1*x2=(n-1)/(m+n) ,
所以 y1*y2=(x1+1)(x2+1)=x1*x2+(x1+x2)+1=(m-1)/(m+n) ,
由于 OP丄OQ ,所以 x1*x2+y1*y2=0 ,
即 (n-1)/(m+n)+(m-1)/(m+n)=0 ,（1）
又 |PQ|=√10/2 ,
所以 |PQ|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
=2(x2-x1)^2
=2[(x1+x2)^2-4x1*x2]
=2[4n^2/(m+n)^2-4(n-1)/(m+n)]=5/2 ,（2）
由（1）（2）解得 m=3/2 ,n=1/2 或 m=1/2 ,n=3/2 ,
因此,所求的椭圆方程为 x^2/(2/3)+y^2/2=1 或 x^2/2+y^2/(2/3)=1 .