蠕虫悖论求解

题目

蠕虫悖论求解
这是基诺未能想出来的又一个悖论.一条蠕虫在橡皮绳的一端.橡皮绳长一米.蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行.
在1秒钟之后,橡皮绳就像橡皮筋一样拉长一米.再过一秒钟后,它又拉长为3米,如此下去.蠕虫最后究竟会不会达到终点呢?
根据直觉你会说：蠕虫绝不能爬到终点.可是,它爬到了.试试看,你是否能算出蠕虫要爬多远.
计算是这样的：
第一秒：蠕虫爬了全绳长的1/100,第二秒：蠕虫爬了全绳长的1/200……依次类推
于是,第n秒,蠕虫爬了全绳长的1/n*100
则在第2的k次方秒,蠕虫爬了全绳长的1/2的k次方*100
那么在2的k次方秒这个过程中,蠕虫爬了：
1/100＋1/200＋……＋1/2的k次方*100
将1/100提出后,原式变为：
1/100(1+1/2+1/3+……+1/2的k次方)
整理后得：
1/100[(1+1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+……+(1/{2的k-1次方加1}+……+1/2的k次方)]
为什么要这么整理呢?
试比较下面的式子和上面的式子：
1/100[1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……+(1/2的k次方+……+1/2的k次方)]
很明显：下面的式子将上面的式子的许多数改小了,所以下面的式子比上面的式子小
我们还可以发现：下面的式子每一个括号里的和都为1/2
那么n个1/2相加为n/2,下面的式子为k个1/2相加,得k/2
当下面的式子等于1时,1+k/2=100,
k/2=99,k=198,
所以,k/2=198,蠕虫爬到了另一头.
这是完整的蠕虫悖论.

答案