高中综合不等式

题目

高中综合不等式
1.已知f(t)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1
若t为自然数,且t>=4时,f(t)>=mt^2+(4m+1)t+3m恒成立,求f(t)的表达式及m的最大值
设f(x)=x^2+bx+c(b,c为常数),方程f(x)的两根为x1,x2,且满足x1>0,x2-x1>1
求证b^2>2(b+2c)
设0已知函数f(x)=2^x
试求函数F(x)=f(x)+af(x),x<=0的最大值
若存在x<0,使（af(x)-f(2x)）的绝对值>1恒成立,求a的取值范围
当a>0,且0<=x<=15时,不等式f(x+1)<=f((2x+a)^2)恒成立,求a的取值范围

答案

1,解出的方程为 f（x）=x^3+3x^2-3.
因为当x=t,y=-t时,有f(t)+f(-t)=6t^2-6 f(0)=-3
当x=2t,y=-2t时,有f(2t)+f(-2t)=24t^2-6
由于式子最高次幂为3,故设f(t)=a*t^3+3t^2+b*t-3,由f(0)和f(1),求得a=1,b=0
满足t=4时,m最大,为3
2 b^2-2(b+2c)=(x1+x2)^2+2(x1+x2-2x1x2)=(x1-x2)^2+2(x1+x2)>0
f(0)=c=x1x2>x1,f(x1)=0-1时,为1,当a=1