在三角形ABC中,已知BC=5√3,外接圆半径为5.若向量AB乘以向量AC=-11/2,求三角形的周长?

题目

在三角形ABC中,已知BC=5√3,外接圆半径为5.若向量AB乘以向量AC=-11/2,求三角形的周长?

答案

设BC=a,AB=c,AC=b,
由正弦定理得：a/sinA=2R,
sinA=√3/2.
向量AB•AC=-11/2,所以bc•cosA=-11/2<0,可知A是钝角,A=120°,
-bc/2=-11/2,bc=11.
又由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA
75=(b+c)²-2bc-2bccosA
75=(b+c)²-2bc-2bccos120°,将bc=11代入得：
75=(b+c)²-11,b+c=√86.
所以三角形周长为√86+5√3.