正△ABC的边长为1，点P在AB上，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB．其中P、Q、R、S为垂足，若SP=1/5，则AP的长是_．

题目

正△ABC的边长为1，点P在AB上，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB．其中P、Q、R、S为垂足，若SP=

1

5

答案

如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=∠C=60°，
设AS=x，
在Rt△ASR中，
∵RS⊥AB，
∴∠ASR=90°，
∴∠ARS=30°，
∴AR=2AS=2x，
∴RC=1-AR=1-2x，
在Rt△QCR中，
∵QC=2RC=2-4x，
∴BQ=4x-1，
在Rt△BPQ中，BP=2BQ=8x-2，
∵AB=1，
∴AS+PS+BP=1，即x+

1

5

+8x-2=1，解得x=

14

45

，
∴AP=AS+PS=

14

45

+

1

5

=

23

45

；
如图2，当点P在点S的上方时，
同上可得，AS+BP-PS=1，即x+8x-2-

1

5

=1，解得x=

16

45

，
∴AP=AS-PS=

16

45

-

1

5

=

7

45

．
故答案为：

7

45

或

23

45

．