长方形ABCD中,ad=12,ab=5,ac,bd为对角线,ad边上有一点p,过p做ac,bd的垂线e,f,求pe与pf的和

题目

长方形ABCD中,ad=12,ab=5,ac,bd为对角线,ad边上有一点p,过p做ac,bd的垂线e,f,求pe与pf的和
我做了好久,

答案

矩形ABCD中,AC=BD,AB=CD=5,∠BAD=∠ADC =90度
∵PE⊥AC
∴∠AEP=∠ADC=90度
∵∠EAP=∠DAC
∴△AEP∽△ADC
∴PE/CD=AP/AC
同理△DFP∽△DAB
∴PF/AB=PD/BD
∴PE/CD+PF/AB==AP/AC+PD/BD
RT△ACD中,AC=√（5^2+12^2）=13
∴PE/CD+PF/AB==AP/AC+PD/BD
∴PE/5+PF/5==AP/13+PD/13= （AP+PD）/13
∴（PE+PF）/5=12/13
∴ PE+PF=60/13
此题也可以连接PO,作DM⊥AC.利用△AOP和△DOP的面积之和等于△AOD的面积,加上AO=DO,得到PE+PF=DM；再于△DAC中计算出AC边上的高DM（用面积法最简单）即得到PE+PF的值.