直线y=kx-2交椭圆x^2+4y^2=80于不同的两点P、Q,若PQ中点的横坐标为2,则｜PQ｜＝?

题目

直线y=kx-2交椭圆x^2+4y^2=80于不同的两点P、Q,若PQ中点的横坐标为2,则｜PQ｜＝?

答案

y=kx-2交椭圆x^2+4y^2=80于不同的两点P、Q
x^2+4(kx-2)^2=80
(1+4k^2)x^2-16kx-64=0
xP+xQ=16k/(1+4k^2)
(xP+xQ)/2=8k/(1+4k^2)
PQ中点的横坐标为2
8k/(1+4k^2)=2
k=0.5
1+4k^2=1+4*0.5^2=2
xP+xQ=16k/(1+4k^2)=4
xP*xQ=-64/(1 +4k^2)=-32
(xP-xQ)^2=(xP+xQ)^2-4xP*xQ=4^2-4*(-32)=144
(yP-yQ)^2=k^2*(xP-xQ)^2
｜PQ｜^2＝(xP-xQ)^2+(yP-yQ)^2=(1+0.5^2)*144=180
｜PQ｜＝6√5