七桥问题可以解决吗?

题目

七桥问题可以解决吗?

答案

七桥问题
18世纪的欧洲,有一位伟大的数学家,全欧洲的科学家都以他为师表,都称自己是他的学生,他就是大数学家欧拉.
1736年,为欧拉在彼得堡担任教授时,他解决了一个有趣的“七桥问题”,这个趣题一直流传到现在,并相信它是拓朴学产生的萌芽.
当时与普鲁士首府哥尼斯堡有一条普雷格尔河,这条河有两个支流,还有一个河心岛,共有七座桥把两岸和岛连起来.
有一天,人们教学的时候,有人提出一个问题：“如果每座桥走一次且只走一次,又回到原来地点,应该怎么走?”当时没有一个人能找到答案.
这个问题传到住在彼得堡的欧拉耳中,当然,他不会去哥尼斯堡教学,而是把问题画成一张图：小岛、河岸画成点,桥画成连结点的线,他考虑：如果能从一个点开始用笔沿线画（就像人过桥一样）笔不准离开纸（人连续走路）,同一条线不准画两遍（每个桥只经过一次）,所有线都画完,最后能否回到原来的出发点?这就是“一笔画”问题.
欧拉意识到他所研究的几何问题是一种新的几何学,所研究的图形与形状和大小无关,最重要的是位置怎样用弧连结,这张图就是一个网络.
欧拉为什么能抽象出这张图呢?是他利用了几何的抽象化和理想化来观察生活,初一几何开始讲点、线、面,这些几何概念是从现实中抽象化和理想化而来,笔尖点在纸上是一个点.
在地图上一个城市是一个点,在欧拉眼中,岛和陆地抽象成点,马路可看成线,欧拉眼中,桥抽象成线,直线是笔直的生活中没有完全精确的笔直线,这是理想化了,正因为数学的这种抽象,才使数学具有“应用的广泛性”这一特点.
欧拉怎样解决的这个问题呢?若一个顶点发出的弧的条数为奇数时,称为奇顶点；发生的弧的条数为偶数时,称为偶顶点,一笔画一定有一个起点、一个终点和一定数目的通过点,分两种情况考虑：
第一种：起点和终点不是同一点,把集中在起点的所有弧画完为止,有进有出,最后一笔必须画出去,所以起点必须是奇顶点；另一方面把集中在终点的所有弧线画完为止,最后一笔必须画进来,因此,终点也必须是奇顶点；其它经过的点,有几条弧画进来,必有同样多的弧画出去,必是偶顶点.
第二种：起点和终点为同一点,又画出去,又画进来,必为偶顶点,其它顶点有进有出也都是偶顶点,因此,欧位得出以下结论：
1.全是偶顶点的网络可以一笔画.
2.能一笔画的网络的奇顶点数必为0或2.
3.如果一个网络有两个奇顶点,它就可以一笔画,但最后不能回到原来的出发点,这时,必须从一个奇顶点出发,然后回到另一个奇顶点.
用欧拉的发现去分析七桥问题,这张图上的A、B、C、D全是奇顶点,因此,不能一笔画,所以,游人一次走遍七桥是不可能的.
看完欧拉的解法,启发我们：生活中许多问题用数学方法解决,但首先要抽象化和理想化,其中点和线的抽象又是最基本的.
参考资料：数学书