y=（sinx * cos x）/( sinx +cosx +1) 的最值

题目

y=（sinx * cos x）/( sinx +cosx +1) 的最值
给我科学一点的办法
我知道可以用万能公式换单变量再求导.或者直接求导 所以这两种方法就不用说了 其他的 更简便的

答案

我觉得换变量是最简单的
令 sinx +cosx=t
那么sinxcosx=(t^2-1)/2
那么原式可以化成
y=（sinx * cos x）/( sinx +cosx +1)
=(t^2-1)/2(t+1)=(t-1)/2,
因为sinx+cosx=t=√2sin(x+π/4),它的值域为[-√2,√2]
显然当t=-√2时,原函数取最小值（1-√2)/2,此时x+π/4=-π/2+2kπ(k为整数)
当t=√2时,原函数取最大值（√2-1）/2,此时x+π/4=π/2+2kπ(k为整数)