若一个二面角的一个面α内有一点A

题目

若一个二面角的一个面α内有一点A
1,若一个二面角的一个面α内有一点A,它到棱的距离是它到另一个面β的距离是2倍,则这个二面角
的度数是_____30或150度________
2,已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=√3,BC=2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面
的二面角的大小_____90度__________
3,三角形ABC的一边BC在平面α内,顶点A在平面α外,∠ABC=60度,三角形ABC所在的平面与平面
α成30度的二面角,则AB所在的直线与平面α所成的角的正弦值____√3/4__________

答案

1 过点A做AB垂直棱,过点A做AC垂直另一个面β
则角ABC是二面角的平面角
因为sin角ABC=AC/AB=1/2
因为二面角的度数在0到180之间
所以角ABC为30或150
因此二面角是30或150度
2 设AB=AC=BD=DC=根号3,BC = AD = 2.
取BC中点M.连结AM,DM.易知（等腰三角形）AM垂直于BC,DM也垂直于BC.所以角AMD就是所求的二面角.在AMC内运用勾股定理,AM = 根号(3 - 1) = 根号(2).同理,DM = 根号(2).则三角形AMD中,AM = MD = 根号(2),AD = 2.易知这个三角形是一个等腰直角三角形,直角在M,即AMD = 90度,所以这个二面角是90度.
3 过A做AD垂直BC,过A做AE垂直平面α
则角ADE是二面角的平面角
因为角ADE=30度
所以AE/AD=sin30=1/2
AD=2AE
因为∠ABC=60度
所以AD/AB=2AE/AB=sin60=根号3/2
AB=4根号3AE/3
因为角ABE是AB所在的直线与平面α所成的角
所以sin角ABE=AE/AB=AE/(4根号3AE/3)=根号3/4