设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-n（n-1）（n∈N+） （1）求an的表达式； （2）若数列{1/anan+1}的前n项和为Tn，问：满足Tn＞100/209的最小正整数

题目

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n∈N₊）
（1）求a_n的表达式；
（2）若数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，问：满足Tn＞

100

209

的最小正整数n是多少？

答案

（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-2（n-1）…（2分）an-an-1=2（n≥2），数列{an}是以a1=1为首项，以2为公差的等差数列∴an=2n-1…（6分）（2）数列{1anan+1}的前n项和为Tn，Tn=1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=11...

（1）当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），知a_n-a_n-1=2（n≥2），由此能求出a_n．
（2）数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，由题设推出Tn＝

n

2n+1

，故

n

2n+1

＞

100

209

，n＞

100

9

，所以满足Tn＞

100

209

的最小正整数n是12．

本题考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式．

考点点评：本题考查数列通项公式的求法，求数列前n项和的应用，综合性强，难度大，是高考的重点题型．解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．