求高数不定积分题

题目

求高数不定积分题
∫(secx)3 dx 和 根号下一加x二次方对x的不定积分
不好意思，那是secx的三次方，

答案

一、使用分部积分法：
∫(secx)^3 dx
=∫secx d tanx
—— (tanx)' = (secx)^2
=secx tanx - ∫tanx d secx
—— 分部积分法
=secx tanx - ∫secx (tanx)^2 dx
—— (secx)' = secx tanx
=secx tanx - ∫secx [ 1 - (secx)^2 ] dx
—— 1 + (tanx)^2 = (secx)^2
=secx tanx - ∫secx dx + ∫(secx)^3 dx
—— 不定积分性质
=secx tanx - ln|secx + tanx| - ∫(secx)^3 dx
—— 公式：∫secx dx = ln|secx + tanx|
移项：
2∫(secx)^3 dx = secx tanx - ln|secx + tanx| + C
∫(secx)^3 dx=1/2 (secx tanx - ln|secx + tanx|) + C
二、使用第一类换元法
∫(1 + x^2)^(1/2) dx
=2 ∫(1 + x^2)^(1/2) d (1 + x^2)
=(1/3)(1 + x^2)^(3/2) + C