已知函数f(x)的定义域为,对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>o
题目
已知函数f(x)的定义域为,对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>o
答案
原题:
已知函数f(x)定义域为{x|x≠0,x∈R},对定义域内的任意x1,x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)且当x>1时f(x)>0,
(1)求f(1)与f(-1)值;
(2)求证:f(x)是偶函数;
(3)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(1)令x1=x2=1
∵f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)
∴f(1)=2f(1)
∴f(1)=0
令x1=-1,x2=1
f(-1)=f(-1)+f(1)
∴f(-1)=0;
(2)证明:令x1=-1
∵f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)
∴f(x1•x2)=f(-x2)=f(-1)+f(x2)
又∵f(-1)=0
∴f(-x2)=f(x2)
故f(x)是偶函数;
(3)证明:令x1>1,当x2∈(0,+∞)时,x1•x2>x2
∵当x>1时f(x)>0
∴f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)>f(x2).
故f(x)在(0,+∞)上是增函数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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