在△ABC中，已知a、b、c分别为角A、B、C的对边，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC．

题目

在△ABC中，已知a、b、c分别为角A、B、C的对边，求证：a²sin2B+b²sin2A=2absinC．

答案

证明：∵△ABC中，

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝2R（R为外接圆的半径）
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴a²sin2B+b²sin2A=2a²sinB•cosB+2b²sinA•cosA
=8R²sinA•sinB•（sinAcosB+sinBcosA）
=8R²sinA•sinB•sin（A+B）
=8R²sinA•sinB•sin（π-C）
=8R²sinA•sinB•sinC，
又2absinC=2•2RsinA•2RsinB•sinC=8R²sinA•sinB•sinC，
∴a²sin2B+b²sin2A=2absinC．