证明：*2!……n!=的(n-1)次方/3*4(2)*……*n（n-2）

题目

证明：*2!……n!=的(n-1)次方/3*4(2)*……*n（n-2）

答案

首先我明确一下,题设里应该有规定N是整数且>=3的吧?
用数学归纳法：
i 当N=3时,左边=1!*2!*3!=1*2*6=12,右边=（3!）^2/3=(6^2)/3=12
左边=右边,∴成立；
ii 设当N=k时,等式1!*2!……k!=的(k-1)次方/3*4^2*……*k^(k-2）成立；
iii 当N=k+1时,左边=1!*2!……k!*(k+1)!=(k+1)!*[(k!)^(k-1)]/3*4^2*……*k^（k-2)
k!=（k+1）!/（k+1）,所以等式右边的分子可以写为：
(k+1)!*[(k+!)!/(k+1)]^(k-1)=[(k+1)!]^k/(k+1)^(k-1)
因而等式右边可以整理为：
[（k+1）!] ^k/3*4^2*……*k^(k-2）*(k+1)^(k-1)
即1!*2!……k!*(k+1)!= [（k+1）!] ^k/3*4^2*……*k^(k-2）*(k+1)^(k-1)
∴当N=k+1时等式也成立.
∴得证.
注：符号说明X^Y表示X的Y次方.
另外,文本格式的编辑看上去有点乱,LZ见谅了,有看不明白的可以再问我~