已知函数f(x)对任意x、y∈R,都有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x<0时,f(x)<0,f(1)<-2∕3.
题目
已知函数f(x)对任意x、y∈R,都有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x<0时,f(x)<0,f(1)<-2∕3.
求证:f(x)是R上的减函数
答案
因为f(x)+f(y)=f(x+y)
令X=0 则f(0)+f(y)=f(y)推得f(0)=0
再令Y=-X,则f(x)+f(-X)=f(0)移项得f(x)=-f(-x)
所以函数f(x)是奇函数
在R内任取X1,X2且X1〉X2
f(X1)-f(X2)=f(X1)+f(-X2)=f(X1-X2)
又因为f(x)<0,所以f(X1)-f(X2)<0
f(X1)所以f(x)是R上的减函数
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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