一个二元的函数f(x,y)在一个闭区域D上一阶偏导数连续是什么意思啊?跟开区域D上一阶偏导数连续有区别吗?

题目

一个二元的函数f(x,y)在一个闭区域D上一阶偏导数连续是什么意思啊?跟开区域D上一阶偏导数连续有区别吗?
我是想说,可偏导需要在一个点邻域上有起码的函数的定义,那么在闭区域D的边界上的点,连邻域上的点都不全有定义,又怎么能一阶的偏导数连续呢?

答案

你是不是认为函数f(x,y)只在要讨论的区域D上才有定义啊?不是这样的,例如函数f(x,y)=xy,我们取区域D为圆x^2+y^2≤1,这是一个闭区域,但是f(x,y)=xy在圆周x^2+y^2=1上以及圆周外部都是有定义的,所以这就保证在在圆周上任一点的邻域内函数有定义,从而可以讨论偏导数.在实际应用中,函数在闭区域D外部无定义的情况是很少的,但如果真是这样,那当然按常规的定义就不能说函数在边界上连续了,但可以相应放宽要求,例如闭区间[a,b]上连续的一元函数f(x)可以放宽要求定义为f(x)在(a,b)内连续,且在x=a处右连续,在x=b处左连续.