在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B两点均不重合）． （1）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x，试

题目

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B两点均不重合）．

（1）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x，试用含x的代数式表示△AEF的面积；
（2）是否存在线段EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时AE的长；若不存在，说明理由．

答案

（1）∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∵EF平分Rt△ABC的周长，AE长为x，∴AF=3+4+52-x=6-x，过F作FD⊥AC于点D，则有Rt△ADF∽Rt△ACB，根据对应边的比相等，可以得到：FD=45（6-x）则S△AEF=-25x2+125x（1＜x＜3）...