请找出逆矩阵A,

题目

请找出逆矩阵A,
已知矩阵A =(c 0 0 0 0; 1 c 0 0 0; 0 1 c 0 0; 0 0 1 c 0; 0 0 0 1 c)
求A^-1

答案

挑战下,五阶方阵...
用行变换方式,化为这样会不会看到头晕呢?
(A,E) =
|c 0 0 0 0 1 0 0 0 0|
|1 c 0 0 0 0 1 0 0 0|、这行乘以c,减去第一行
|0 1 c 0 0 0 0 1 0 0|
|0 0 1 c 0 0 0 0 1 0|
|0 0 0 1 c 0 0 0 0 1|
=
|c 0 0 0 0 1 0 0 0 0|
|0 c² 0 0 0 -1 c 0 0 0|
|0 1 c 0 0 0 0 1 0 0|、这行乘以c²,减去第二行
|0 0 1 c 0 0 0 0 1 0|
|0 0 0 1 c 0 0 0 0 1|
=
|c 0 0 0 0 1 0 0 0 0|
|0 c² 0 0 0 -1 c 0 0 0|
|0 0 c³ 0 0 1 -c c² 0 0|
|0 0 1 c 0 0 0 0 1 0|、这行乘以c³,减去第三行
|0 0 0 1 c 0 0 0 0 1|
=
|c 0 0 0 0 1 0 0 0 0|
|0 c² 0 0 0 -1 c 0 0 0|
|0 0 c³ 0 0 1 -c c² 0 0|
|0 0 0 c⁴ 0 -1 c -c² c³ 0|
|0 0 0 1 c 0 0 0 0 1|、这行乘以c⁴,减去第四行
=
|c 0 0 0 0 1 0 0 0 0|、这行除以c
|0 c² 0 0 0 -1 c 0 0 0|、这行除以c²
|0 0 c³ 0 0 1 -c c² 0 0|、这行除以c³
|0 0 0 c⁴ 0 -1 c -c² c³ 0|、这行除以c⁴
|0 0 0 0 c⁵ 1 -c c² -c³ c⁴|、这行除以c⁵
=
|1 0 0 0 0 1/c 0 0 0 0|
|0 1 0 0 0 -1/c² 1/c 0 0 0|
|0 0 1 0 0 1/c³ -1/c² 1/c 0 0|
|0 0 0 1 0 -1/c⁴ 1/c³ -1/c² 1/c 0|
|0 0 0 0 1 1/c⁵ -1/c⁴ 1/c³ -1/c² 1/c|
所以A的逆矩阵A⁻¹
=
|1/c 0 0 0 0|
|-1/c² 1/c 0 0 0|
|1/c³ -1/c² 1/c 0 0|
|-1/c⁴ 1/c³ -1/c² 1/c 0|
|1/c⁵ -1/c⁴ 1/c³ -1/c² 1/c|