高数积分证明题

题目

高数积分证明题
设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续,(a>0),且f(0)=0,证明：在[-a,a]上至少存在一点c,使得a^3f''(c)=3∫(a~-a)f(x)dx
那个积分是上限为a,下限为-a,答得好的绝对加分.
等式左边是a的三次方

答案

要用到泰勒公式和积分中值定理：f(x)=f(0)+f'(0)x+[f''(θ)/2]x^2=f'(0)x+[f''(θ)/2]x^2对上式在区间[-a,a]上作定积分∫(a~-a)f(x)dx=f'(0)∫(a~-a)xdx+∫(a~-a)[f''(θ)/2]x^2dx到这一步一定要注意：θ是关于x的一...