若关于X的方程,mx²+（2m-9）x+m²-2=0的两根恰好是一直角三角形的梁锐角的正切值,求m的值

题目

若关于X的方程,mx²+（2m-9）x+m²-2=0的两根恰好是一直角三角形的梁锐角的正切值,求m的值

答案

若关于X的方程,mx²+（2m-9）x+m²-2=0的两根恰好是一直角三角形的梁锐角的正切值,求m的值
设α,β是一RT△的两个锐角,α+β=90°,x₁,x₂是所给方程的两个根,且x₁=tanα；
x₂=tanβ=tan(90°-α)=cotα；故x₁x₂=tanαcotα=1=(m²-2)/m,即有m²-m-2=(m-2)(m+1)=0
故m₁=2,m₂=-1.
又x₁+x₂=-(2m-9)/m,当m=2时,x₁+x₂=-(4-9)/2=5/2；当m=-1时,x₁+x₂=-(-2-9)/(-1)=-11
(应舍去,因为x₁+x₂=tanα+tanβ>0)
故应取m=2,即原方程应为：2x²-5x+2=(2x-1)(x-2)=0,x₁=1/2=tanα,x₂=2=tanβ,tanαtanβ
=(1/2)×2=1.