已知正方形边长为a,若截去四个角使其成为正八边形,问所得正八边形面积是多少?

题目

已知正方形边长为a,若截去四个角使其成为正八边形,问所得正八边形面积是多少?

答案

将正方形ABCD截去四个角,使它们成为一个正八边形EFGHIJKL
设正八边形的边长是a,即MN=ML=LH=a.
所以,得DM=LC=a/根号2
所以,有:DM+ML+LC=2
即:a/根号2+a+a/根号2=2
(2+根号2)a=2根号2
a=2根号2/(2+根号2)=2/(根号2+1)=2(根号2-1)
即边长是2(根号2-1)
那么DM=2(根号2-1)*根号2/2=2-根号2.
所以,三角形DMN的面积S=1/2*DM^2=1/2*(2-根号2)^2=1/2*(6-4根号2)=3-2根号2.
大正方形的面积=2*2=4
所以,正八边形的面积=4-4S(DMN)=4-4(3-2根号2)=8根号2-8