初二全等三角形的几何题.

题目

初二全等三角形的几何题.
在△ABC中,∠BAC＝90°,AB=AC,M为AC中点,AE⊥BM于E,延长AE交BC于D 求证：（1）∠AMB=∠CMD （2)BD=2CD
可以自己画出来.

答案

给出两个解法：解法1较为精深巧秒不易察觉；解法2构线巧妙证明简单
望参考学习并积累方法!
证明(一) 过A作AG⊥BC于G,交BM于H
∵三角形ABC是等腰直角三角形
∴∠BAG=∠C,AB=AC
∵∠ABM+∠AMB=∠MAE+∠AMB=90°
∴∠ABM=∠MAE
∴△ABH≌△ACD
∴AH=CD.
在△AMH和△CDM中
CM=AM,∠CAG=∠C=45°,AH=CD
∴△AMH≌△CDM
∴∠AMB=∠CMD.
又∵∠BAD=∠AMH,∠ABD=∠HAM=45°,
∴△ABD∽△MAH,
故AB/AM=BD/AH=2,即BD=2AH.因此BD=2CD.
证明法2：
2）过B作BG//AC交MD延长线于G,易证Rt△GBA～Rt△BAM,
∴BG=2AB=2AC,
∴BD/CD=BG/AC=2/1,∴BD=2CD.
（1）∵∠C=∠DBA=45°,CD/BD=CM/BA=1/2,
∴△CMD～△BAD,∴∠CMD=∠BAD,
易知∠BAD=∠AMB,
∴∠AMB=∠CMD