若圆1：x2+y2=5与圆2：（x-m)2+y2=20,相交于A B两点.且两点在A处的切线相互垂直,则AB的长度是

题目

若圆1：x2+y2=5与圆2：（x-m)2+y2=20,相交于A B两点.且两点在A处的切线相互垂直,则AB的长度是
x2+y2=5与圆2：（x-m)2+y2=20
是指
x的平方+y的平方=5与圆2：（x-m)的平方+y的平方=20,

答案

两圆在点A处的切线互相垂直,说明两圆心与点A连成的半径也互相垂直.
设A（a,b）
a²+b²=5——①
(a-m)²+b²=20——②
b/a×b/(a-m)=-1——③
由③得：b²=-a(a-m)
代入①:a²-a(a-m)=5
am=5
②-①：(a-m)²-a²=15
m²-2am=15
m²-10=15
m²=25
m=±5
不妨设m=5
则a=1
那么b²=-a(a-m)=-(1-5)=4
b=±2
∴A、B坐标分别为(1,2)和(1,-2)
∴线段AB的长为2-(-2)=4