双曲线中的中点弦问题

题目

双曲线中的中点弦问题
已知双曲线C：2x^2-y^2=2与点P（1,2）.
1） 求过P（1,2）的直线L的斜率k的取值范围,使L与C分别有一个交点、两个交点、没有交点.
2） 是否存在过P点的弦AB,使A、B中点为P?
3） 若Q（1,1）,试判断以Q点为中点的弦是否存在.

答案

（1）当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,与曲线C有一个交点 当l的斜率存在时,设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程,并整理得
（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0
当2－k^2=0,k=-根[2],k=根[2]有一个个交点
Δ=〔2(k^2－2k)〕2－4(2－k^2)(－k^2+4k－6)=16(3－2k)
当Δ=0,k= 3/2方程有一个实根,l与C有一个交点
当Δ＞0,即k＜3/2 ,方程有两不等实根,l与C有两个交点
当Δ＜0,即k＞ 3/2时,方程无解,l与C无交点 .
(2)k*OP的斜率=-(x^2的系数)/(y^2的系数)=2
求出k=1时满足题意 .
(3)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x1^2－y1^2=2,2x2^2－y2^2=2两式相减得 2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2(x1－x2)=y1－y1
即kAB=2
但渐近线斜率为±根2 ,结合图形知直线AB与C无交点,所以假设不正确,即以Q为中点的弦不存在 .