已知二次函数f（x）同时满足下列条件： （1）f（x+1）=f（1-x）， （2）f（x）的最大值15， （3）f（x）=0的两根立方和等于17，求f（x）的解析式．

题目

已知二次函数f（x）同时满足下列条件：
（1）f（x+1）=f（1-x），
（2）f（x）的最大值15，
（3）f（x）=0的两根立方和等于17，求f（x）的解析式．

答案

∵二次函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），函数关于x=1对称，
可设f（x）=a（x-1）²+b，
∵f（x）的最大值15，
∴x=1时，b=15，且开口向下，
a＜0，∴y=a（x-1）²+b=ax²-2ax+a+15，
设方程两个根为x₁，x₂，
可得x₁+x₂=2，x₁•x₂=

a+15

a

，
∵x₁³+x₂³=17，
∴（x₁+x₂）³=x₁³+x₂³+3x₁•x₂（x₁+x₂），
∴2³=17+3×2×

15+a

a

，解得a=-6，
∴y=-6（x-1）²+15；