设f(x)=e^x-2,试证:在区间(0,2)内至少存在一点ξ,使e^ξ-2=ξ
题目
设f(x)=e^x-2,试证:在区间(0,2)内至少存在一点ξ,使e^ξ-2=ξ
答案
设g(x)=e^x-2-x
g'(x)=e^x-1
x>0
g'(x)>0
g(x)在(0,2)是增函数
g(0)=-1
g(2)>0
所以g(x)与x轴最少有一个交点
即e^ξ-2-ξ=0
e^ξ-2=ξ
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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