已知抛物线y^2=4x,三角形△ABC的顶点A,B在抛物线上,且OA⊥OB,OP⊥AB于点P,求点P的轨迹方程

题目

已知抛物线y^2=4x,三角形△ABC的顶点A,B在抛物线上,且OA⊥OB,OP⊥AB于点P,求点P的轨迹方程

答案

方法是这样的,自己画图,看我的步骤.
1、A,B与x轴交于点C,其中A（x1,y1),B(x2,y2),C(x3,0)
2、可以知道C是一个定点.（以后遇到这类题也是一样）
【原因】(1)OA⊥OB,所以（x1,y1)·（x2,y2) = 0 /*向量内积*/
∴x1*x2 + y1*y2 = 0.
代入 x1 = (y1)^2 /4,x2 = (y2)^2 /4 /*AB在抛物线上*/
得到
y1*y2 = -16
(2)写出AB直线方程：
(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1) /* 两点式 */
令y = 0,得到
x = x1 - (y1*y2 + y1*y1)/4 = -y1*y2/4 = 4
/*化简时中间又带入了x1=y1^2 /4,x2 = y2^2 /4*/
3、可以看出来OP⊥OC吧?
4、作出OC中点D（2,0),则P点在以D为圆心、OC为半径的圆上,因为OP⊥OC
综上所述,方程为：
（x - 2)^2 + y^2 = 4
对不对呢?
还应该去掉O（0,0）点