已知f(x)=logmx（m为常数m>0且m≠1）,设f(a1),f(a2）,...f(an)是首相为4,公差为2 的等差数列

题目

已知f(x)=logmx（m为常数m>0且m≠1）,设f(a1),f(a2）,...f(an)是首相为4,公差为2 的等差数列
1.求证：数列an是等比数列
2.若bn=an*f(an),且数列bn的前n项和sn,当m=√2时,求sn

答案

已知f(x)=log‹m›x（m为常数m>0且m≠1）,设f(a1),f(a2）,...f(an)是首相为4,公差
为2 的等差数列
1.求证：数列an是等比数列
2.若b‹n›=a‹n›*f(a‹n›),且数列b‹n›的前n项和s‹n›,当m=√2时,求sn
证明：1.f(a‹n›)=log‹m›an=4+2(n-1)=2n+2
故a‹n›=m^(2n+2)
a‹n›/a‹n-1›=m^(2n+2)/m^(2n)=m²=常量,故｛a‹n›}是等比数列.
2.a‹n›=(√2)^(2n+2)=2^（n+1)
f(a‹n›)=2n+2
故b‹n›=a‹n›×f(a‹n›)=[2^(n+1)](2n+2)=(n+1)2^(n+2)
于是S‹n›=2×2³+ 3× 2⁴+4×2⁵ +5×2⁶ +.+n×2^(n+1)+(n+1)2^(n+2).(1)
2S‹n›,=2×2⁴+3×2⁵+4×2⁶+5×2⁷+.+n×2^(n+2)+(n+1)×2^(n+3).(2)
(1)-(2)得 -S‹n›=2×2³+2⁴+2⁵ +2⁶+.+2^(n+2)-(n+1)×2^(n+3)
=16+2³[2¹+2²+2³+2⁴+.+2^(n-1)]-(n+1)×2^(n+3)
=16+8｛2[2^(n-1)-1]｝-(n+1)×2^(n+3)=2^(n+3)-(n+1)×2^(n+3)
=-n×2^(n+3)
故S‹n›=n×2^(n+3)