如果直线l将圆x²+y²-2x-4y=0平分且与圆x²+y²-2x+4y+4=0有公共点,那么l的斜率的取值范围是（ ）

题目

如果直线l将圆x²+y²-2x-4y=0平分且与圆x²+y²-2x+4y+4=0有公共点,那么l的斜率的取值范围是（ ）

答案

圆x²+y²-2x-4y=0

x²-2x+1+y²-4y+4=5
(x-1)²+(y-2)²=5
平分圆(x-1)²+(y-2)²=5
即直线过圆心(1,2)
圆x²+y²-2x+4y+4=0
x²-2x+1+y²+4y+4=1
(x-1)²+(y+2)²=1

当直线与圆(x-1)²+(y+2)²=1相切时
设切线为y=k(x-1)+2
一般式为kx-y-k+2=0
圆心到切线距离=半径=1
∴|k+2-k+2|/√(1+k²)=1
k²=15
k=±√15
∴斜率范围是(-∞,-√15]∪[√15,+∞)