设向量b可由a1,a2,a3,...,ar线性表出,但不能由a1,a2,a3,..,ar-1线性表出

题目

设向量b可由a1,a2,a3,...,ar线性表出,但不能由a1,a2,a3,..,ar-1线性表出
证明：1,ar不能由a1,a2,.ar-1表出
2,ar能由a1,.ar-1,b表出

答案

因为β可由向量组α1,α2,..,αr线性表示
所以存在一组数 k1,k2,...,kr 使得
β = k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+krαr
1.反证.
如果 αr 可由 α1,α2,...,αr-1 线性表示
设 αr=t1α1+t2α2+...+tr-1αr-1
则 β = k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+krαr
= k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+kr(t1α1+t2α2+...+tr-1αr-1)
即β可由向量组α1,α2,..,αr-1线性表示
这与已知矛盾!
所以αr 不能由 α1,α2,...,αr-1 线性表示.
2.
又因为β不能由向量组α1,α2,..,αr-1线性表示
所以 kr≠0
所以 αr=(1/kr)β-(k1/kr)α1-(k2/kr)α2-...-(kr-1/kr)αr-1
所以 αr 可由α1,α2,...,αr-1,β线性表示