高二关于抛物线数学问题

题目

高二关于抛物线数学问题
设A,B是抛物线y=2x^2上不同的两点,斜率为1的直线l是线段AB的垂直平分线.求直线l在y轴上截距的取值范围.

答案

因为已知直线L的斜率为k=1,所以L的直线方程设为y=x+b
所以求直线l在y轴上截距的取值范围.,就是求b的范围
而本题告诉你的解决这一问题的唯一条件是AB的中点
因此本题的解题过程就此开始
据题意：
A,B是抛物线y=2x^2上不同的两点,隐含一元二次方程求根的b^2-4ac>0
直线L是线段AB的垂直平分线,告诉了AB所在直线方程的斜率k1=-1
令 AB所在直线方程为y=-x+m,A(x1,y1),B(x2,y2)
A、B又在抛物线y=2x^2上
所以A、B两点满足2x^2+x-m=0
而A、B中点的坐标就是（x1+x2）/2和(y1+y2)/2
(y1+y2)/2=x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2
根据求根公式：
(X1+x2)/2=-1/4 [根据求根公式x1+x2=-b/a,x1x2=c/a]
(y1+y2)/2=1/4-2*(-m)/2=1/4+m
得到AB中点坐标（-1/4,1/4+m）,该点在y=x+b上
所以有：1/4+m=-1/4+b,b=1/2+m
因为A,B是抛物线y=2x^2上不同的两点
所以根据b^2-4ac>0可以得到：1+8m>0,即m>-1/8
所以,b=1/2+m>3/8即为所求直线l在y轴上截距的取值范围