求∫√(-x^2+2kx)dx,其中k为常数
题目
求∫√(-x^2+2kx)dx,其中k为常数
答案
答:
∫ √(-x^2+2kx) dx
= ∫ √[k^2-(x-k)^2] dx
=k ∫ √[1-((x-k)/k)^2] dx
换元,令x=k+ksint,则sint=(x-k)/k,cost=√(2kx-x^2)/k,dx=kcostdt,t=arcsin[(x-k)/k] .
=k ∫ kcost√(1-(sint)^2) dt
=k^2 ∫ (cost)^2 dt
=k^2(t/2+sin2t/4) + C
=k^2/2*arcsin[(x-k)/k]+k^2/2*sintcost + C
=k^2/2*arcsin[(x-k)/k]+k^2/2*(x-k)/k*√(2kx-x^2)/k + C
=k^2/2*arcsin[(x-k)/k]+(x-k)/2*√(2kx-x^2) + C
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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