已知椭圆的焦点F1（-3，0）、F2（3，0），且与直线x-y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程．

题目

已知椭圆的焦点F₁（-3，0）、F₂（3，0），且与直线x-y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程．

答案

设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2−9

＝1（a²＞9），
由

x2 a2 + y2 a2−9 ＝1 x−y+9＝0

得（2a²-9）x²+18a²x+90a²-a⁴=0，
由题意，a有解，∴△=（18a²）²-4（2a²-9）（90a²-a⁴）≥0，
∴a⁴-54a²+405≥0，∴a²≥45或a²≤9（舍），
∴a²_min=45，此时椭圆方程是

x2

45

+

y2

36

＝1．

先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a的最小值，则问题解决．

本题考点：椭圆的标准方程．

考点点评：本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题．