中心在原点,焦点坐标为（0,±5√2）的椭圆被直线3X-Y-2=0截得的弦的中点横坐标为1/2,求椭圆方程.

题目

中心在原点,焦点坐标为（0,±5√2）的椭圆被直线3X-Y-2=0截得的弦的中点横坐标为1/2,求椭圆方程.

答案

因为被直线3X-Y-2=0截得的弦的中点横坐标为1/2,所以纵坐标为-1/2 (中点也在直线上)
利用点差法
设交点A(x1,y2)B(x2,y2)椭圆方程为y^2/a^2+x^2/b^2=1
将AB点代入,然后作差,得:(y1+y2)(y1-y2)/a^2+(x1+x2)(x1-x2)/b^2=0
(x1+x2)/2=1/2,(y1+y2)=-1/2
再同时除以X1+X2 (y1+y2)/(x1+x2)=K=3
得到a^2与b^2的关系
因为焦点坐标为（0,±5√2）所以 a^2=b^2+c^2
方程联立解出a^2与b^2即可