I是△ABC的内心,AC=2,CB=3,BA=4,AI向量=xAB向量+yAC向量,则x+y=?

题目

I是△ABC的内心,AC=2,CB=3,BA=4,AI向量=xAB向量+yAC向量,则x+y=?

答案

向量AI=x*AB+y*AC,
过I作IM//AC,IN//AB,分别交AB、AC于M、N,
则向量AI=向量AN+向量NI,
|AM|=x|AB|=4x,|AN|=y|AC|=2y,
四边形AMIN是菱形,
|AM|=|AN|,
4x=|AM|,2y=|AN|,设m=|AM|=|AN|,
x=m/4,y=m/2,
x+y=3m/4,
根据余弦定理, cosA=11/16,
半角公式,
sinA/2=√[（1-cosA)/2]=√10/8,
根据三角形海伦面积公式,三角形面积S=√15/4,
内切圆半径r,r(2+3+4)/2=√15/4,
r=√15/6,
r/AI=sinA/2,
AI=2√6/3,
在三角形AIN中根据余弦定理,AI^2=AN^2+AM^2-2AN*AM*cos