已知二次函数y=f（x）满足f（0）=1,且有f（x+1）=f（x）+2x

题目

已知二次函数y=f（x）满足f（0）=1,且有f（x+1）=f（x）+2x
1.求f（x）
2.求f（x）在【-1,1】上的最大值与最小值
写过程

答案

1.设二次函数方程为 f(x)=ax^2+bx+c
因为f(0)=1,带入方程得c=1,所以函数变为f(x)=ax^2+bx+1
由于f（x+1）=f（x）+2x
即 a（x+1）^2+b（x+1）+1 =ax^2+bx+1+2x
展开整理得 ax^2+(2a+b)x+a+b+1=ax^2+(b+2)x+1
根据对应项系数相等,得 2a+b=b+2; a+b+1 =1
解得 a=1,b=-1
所以方程为 f(x)=x^2-x+1
2.将方程配方得 f(x)=(x-1/2)^2+3/4
则函数对称轴为 x=1/2
所以函数在【-1,1】上的
最大值为 f(-1)=3
最小值是 f(1/2)=3/4