已知a,b都是正数,且a≠b,比较（2ab）（a+b）和√（a+b）的大小

题目

已知a,b都是正数,且a≠b,比较（2ab）（a+b）和√（a+b）的大小

答案

为了讲解方便设x=（2ab）（a+b）,y=√（a+b）
这类题需要做一下变式,把x做成有y的项,就是把x的分子分母同时乘以(a+b)
2ab(a+b)/(a+b)^2,
然后同时开根
√（a+b）(√2ab)/(a+b),
这样x,y可以同时约去√（a+b）,也就变成
(√2ab)/(a+b)与1的区别大小
也就是看(√2ab)/(a+b)的分子和分母的大小
将(√2ab)/(a+b)平方可得
2ab/(a+b)^2,
现在再来证明分子分母的大小
[由于(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,其中含有2ab,又多出a^2+b^2,所以(a+b)^2>2ab,也就是分母>分子]
即（2ab）/（a+b）<√（a+b）
{在[]中的证明是便于理解,正常做题需用(a+b)^2>(a-b)^2>2ab的方法来证明}