已知实对称举证A的两个特征根不相等,对应的特征向量分别为,证明：必正交正交

题目

已知实对称举证A的两个特征根不相等,对应的特征向量分别为,证明：必正交正交

答案

设Ap1＝λ1p1,Ap2＝λ2p2,λ1≠λ2,则
(p1)'Ap2＝(p1)'(λ2p2)＝λ2(p1'p2)
(p1)'Ap2＝(Ap1)'p2＝(λ1p1)'p2＝λ1(p1'p2)
所以,λ2(p1'p2)＝λ1(p1'p2)
因为λ1≠λ2,所以p1'p2＝0,即p1与p2正交
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注：上面的'表示转置