已知等腰三角形ABC中,AB=BC,P在底边AC上的任一点,PE垂直于AB于点E,PF垂直于BC于点F,CD垂直于AB于点D,求证 CD=PE+PF.

题目

已知等腰三角形ABC中,AB=BC,P在底边AC上的任一点,PE垂直于AB于点E,PF垂直于BC于点F,CD垂直于AB于点D,求证 CD=PE+PF.

答案

过P作PH⊥CD于H,
（1）四边形DEPH是矩形,∴PE=HD.
（2）由∠CHP=∠PFC=90°,
∠A=∠C,PH‖BA,
∴∠DCA=∠EPA,
∠EPA=∠FPC,
∴∠DCA=∠FPC,PC是公共边,
∴△PCF≌△CPH（AAS）
∴PF=CH.
即PE+PF=DH+HC=DC.
证毕.