设f(0)的二阶导数存在,且f(0)=0,g(x)=f(x)/x (x≠0时) g(x)=f(0)的导数(x=0时),则g(0)的导数为
题目
设f(0)的二阶导数存在,且f(0)=0,g(x)=f(x)/x (x≠0时) g(x)=f(0)的导数(x=0时),则g(0)的导数为
x=0时,g'(0) = lim(x→0) [g(x)-g(0)]/(x-0)=lim(x→0) [f(x)/x-f'(0)]/x=lim(x→0) [f(x)-xf'(0)]/x²=lim(x→0) [f'(x)-f'(0)]/(2x)=(1/2)f''(0) 这个罗比达法则是怎么用的?最后两步跟我做的不一样
答案
g(0)=f'(0)
按照定义 g'(0)=lim(x->0)[g(x)-g(0)]/[x-0]
=lim(x->0)[f(x)/x-f'(0)]/x
=lim(x->0)[f(x)-xf'(0)]/x²
当x趋向于0时 f(x)->f(0)=0
xf'(x)->0
x->0
所以运用罗比他法则
上下同时求导
g'(0)= lim(x→0) [f'(x)-f'(0)]/(2x)
因为此时当x趋向于0时 f'(x)-f'(0)->0
所以再一次罗比他法则
得 g'(0)= lim(x→0) [f'‘(x)]/2
=(1/2)f''(0)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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