f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,且g"(x)不等於0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0 .

题目

f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,且g"(x)不等於0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0 .
证明(a,b)内g(x)不等於0

答案

证明：用反证法
若存在c∈(a,b)有g(c)=0
则在[a,c]上运用罗尔定理,存在d∈（a,c）使得g'(d)=0
同理,存在e∈(c,b)使得g'(e)=0
在[d,e]上使用罗尔定理,存在f∈（d,e)使得g"(f)=0,这与g"(x)不等於0矛盾
所以(a,b)内g(x)不等於0