已知AB⊥面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD,DE=2AB,F为CD的中点.求直线BF和平面BCE所成角的正玄值

题目

已知AB⊥面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD,DE=2AB,F为CD的中点.求直线BF和平面BCE所成角的正玄值

答案

设AB=1,作FG垂直EC于G,BN⊥DE于N,BM⊥CE于M.则FG²=CG²=1/2FC²=1/2
BN=2,BE=根号5=BC,
∴BM平分CE,即CM=根号2,MG²=(根号2/2)²=1/2,BM²=3,BG²=7/2
∵AF⊥CD,∴AF=根号3,
∵BA⊥AF,∴BF=2
∴△ABF是RT△,FG垂直BG
∴FG⊥平面BCE
∴直线BF和平面BCE所成角的正弦=FG/BF=根号2/4